题目：如图，矩形面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线长为d，周长为l，那么你能获得关于这些量的哪些函数？

大家可以先试着自己来做一下，看看可以求出几个

由题意，易得

$$ \begin{cases} xy = 10 \\ d^2 = x^2 + y^2 \\ l = 2(x+y) \\ x>0,y>0,l>0,d>0,d>x \end{cases} $$

然后我这个five就列出来了一个
$$y = \frac{10}{x}$$

看了一眼答案，发现了两个有趣的结果，然后逆着推一下

$$ \begin{align} l = 2x + \frac{20}{x}(x>0) \\ l = 2 \sqrt{d^2 + 20}(d>0) \end{align} $$

由(1)得

$$ \begin{align*} l &= 2x + \frac{20}{\frac{10}{y}} \\ &= 2x +2y \end{align*} $$

由(2)得

$$ \begin{align*} l^2 &= 4(d2 + 20) \\ \frac{l^2}{4} &= d^2 + 20 \\ \frac{4(x+y)^2}{4} &= d^2 + 20 \\ (x+y)^2 &= d^2 + 20 \\ x^2 + 2xy + y^2 &= d^2 + 20 \\ x^2 + y^2 &= d^2 \end{align*} $$

更加广泛的：矩形面积为S，如果矩形的长为x，宽为y，对角线长为d，周长为l，由如下关系

$$ \begin{cases} xy = S \\ d^2 = x^2 + y^2 \\ l = 2(x+y) \\ l = 2x + \frac{2S}{x} \\ l = 2\sqrt{d^2+2S} \end{cases} $$

似乎也没什么用的样子(如果有更多推广请大佬们告诉我 如果我自己发现了也会继续更新下去)

以上