终于上课认真听课的我学向量有点学傻了，证明点命题来找找思路...

推论一:已知O,A,B三点不共线，且$\vec{OP} = m\vec{OA} + n\vec{OB},(m,n \in R)$,若A,P,B三点共线,则$m+n=1$

证明：
$$\because A,P,B共线$$
$$\therefore\vec{AP} = \lambda\vec{AB}$$

$$ \begin{align*} \vec{AP} &= \lambda\vec{AB}\\ \vec{OP} - \vec{OA} &= \lambda(\vec{OB} - \vec{OA})\\ \vec{OP} - \vec{OA} &= \lambda\vec{OB} - \lambda\vec{OA}\\ \vec{OP} &= \lambda\vec{OB} + (1-\lambda)\vec{OA}\\ m\vec{OA} + n\vec{OB} &= \lambda\vec{OB} + (1-\lambda)\vec{OA}\\ \end{align*} $$

$$ \therefore \begin{cases} m = 1-\lambda \\ n = \lambda \end{cases} $$

$$ \therefore m + n = 1 $$

推论二:已知O,A,B三点不共线，且$\vec{OP} = m\vec{OA} + n\vec{OB}(m,n \in R)$,若$m+n=1$,则A,P,B三点共线

证明：
$\because m+n=1 且 m,n \in R$
$\therefore \vec{OP} = m\vec{OA} + (1-m)\vec{OB}$
$即 \vec{OP} - \vec{OB} = m(\vec{OA} - \vec{OB})$
$\therefore \vec{BP} = m\vec{BA}$
$\because \vec{BA} \not= \vec{0}$
$\therefore \vec{BA}与\vec{BA}共线$
$\because 存在公共点B$
$\therefore A,P,B三点共线$

向量的定比分点公式

若P为线段AB上一点
则有
$$\therefore\vec{AP} = \lambda\vec{BP}$$

$$ \begin{align*} \vec{AP} &= \lambda\vec{BP}\\ \vec{OP} - \vec{OA} &= \lambda(\vec{OP} - \vec{OB})\\ \vec{OP} - \vec{OA} &= \lambda\vec{OP} - \lambda\vec{OB}\\ (1-\lambda)\vec{OP} &= \vec{OA} - \lambda\vec{OB}\\ \vec{OP} &= \frac{1}{1-\lambda}\vec{OA} + \frac{\lambda}{1-\lambda}\vec{OB} \end{align*} $$