两角的和与差公式

两角差的余弦公式

对于任意角$\alpha$与$\beta$有

$$ \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} $$

证明

方法一：

用三角函数线推导(找不到高就糟糕，但孩子平几确实不太行，就算了)

方法二

用向量法推导

由图，在单位圆中，有

$$ \vec{OA}=\left(\cos{\alpha},\sin{\alpha}\right),\vec{OB}=\left(\cos{\beta},\sin{\beta}\right) $$

$$ \vec{OA}\cdot\vec{OB}=\left|\vec{OA}\right|\left|\vec{OB}\right|\cos{\left<\alpha-\beta\right>}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} $$

$$ \therefore \cos{\left<\alpha-\beta\right>}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta} $$

方法三

利用欧拉公式证明，感谢@瑶瑶子大佬的帮助以及@那个追求力量的人大佬提供的idea

$$ \because \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}=\cos{\alpha}+\mathrm{i}\sin{\alpha} $$

$$ \therefore \begin{cases} \sin{\alpha}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}}{2} \\ \cos{\alpha}=\frac{e^{\mathrm{i}\alpha}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}}{2} \end{cases} $$

$$ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}=\mathrm{e}^0=1 $$

$$ \begin{split} \cos{(\alpha+\beta)}+\mathrm{i}\sin{(\alpha+\beta)}&=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\alpha+\beta\right)} \\ &=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta} \\ &=\left(\cos{\alpha}+\mathrm{i}\sin{\alpha}\right)\left(\cos{\beta}+\mathrm{i}\sin{\beta}\right) \\ &=\left(\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\right)+\mathrm{i}\left(\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}\right) \end{split} $$

$$ \therefore \begin{split} \cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \\ \sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \end{split} $$

两角和与差的公式

3月16日更新

显然 所以直接列出来

$$ \begin{cases} \cos{(\alpha+\beta)}&=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \\ \sin{(\alpha+\beta)}&=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \\ \sin{(\alpha-\beta)}&=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta} \\ \tan{(\alpha+\beta)}&=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}} \\ \tan{(\alpha-\beta)}&=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}} \end{cases} $$

在正切的两角和差公式中，当$\alpha=\frac{\pi}{4}$时，有

$$ \begin{align} \tan{(\frac{\pi}{4}\pm\beta)}&=\frac{\tan{\frac{\pi} {4}}\mp\tan{\beta}}{1\pm\tan{\frac{\pi}{4}}\tan{\beta}} \\ &=\frac{1\mp\tan{\beta}}{1\pm\tan{\beta}} \end{align} $$

所以有

$$ 1\pm\tan{\beta}\cdot \tan{(\frac{\pi}{4}\pm\beta)}=1\mp\tan{\beta} $$

即

$$ \tan{\beta}\cdot \tan{(\frac{\pi}{4}\pm\beta)}=-\tan{\beta} $$

二倍角公式

当$\alpha=\beta$时就有二倍角公式，即

$$ \begin{cases} \cos{2\alpha}&=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha} \\ \sin{2\alpha}&=2\sin{\alpha}\cos{\beta} \\ \tan{2\alpha}&=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}} \end{cases} $$

后面的全咕咕咕了，以后有空直接传笔记图片