等比数列×等差数列前n项和
例：已知$a_n=(an+b)q^{n-1}$求$S_n$
解：
$$ \begin{aligned} S_n&=(a+b)q^0+(2a+b)q^1+\cdots+[(n-1)a+b]q^{n-2}+(an+b)q^{n-1} \\ qS_n&=(a+b)q^1+(2a+b)q^2+\cdots+[(n-1)a+b]q^{n-1}+(an+b)q^n\\ (1-q)S_n&=a+b+a(q^1+q^2+\cdots+q^{n-1})-(an+b)q^n\\ &=a+b+\frac{aq(1-q^{n-1})}{1-q}-(an+b)q^n\\ &=a+b+\frac{aq-aq^n}{1-q}-(an+b)q^n\\ &=a+b-\frac{aq}{1-q}+\frac{-a}{1-q}q^n-(an+b)q^n\\ &=a+b-\frac{aq}{1-q}-q^n(\frac{a}{1-q}+an+b)\\ 不妨设&：A=\frac{-a}{1-q} B=\frac{A-b}{1-q}\\ S_n&=(An+B)q^n-B&\\ \end{aligned} $$
显然(实际就是不会证了ƪ(˘⌣˘)ʃ)
可参考文献：等差等比数列求和
PS：其他坑等有空填吧...
3 条评论
厉害啦
佬
《关于我被佬叫佬这件事》